麦克劳林级数

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麦克劳林级数(Maclaurin series)是函数在x=0处的泰勒级数,它是牛顿(I.Newton)的学生麦克劳林(C.Maclaurin)于1742年给出的,用来证明局部极值的充分条件,他自己说明这是泰勒级数的特例,但后人却加了麦克劳林级数这个名称

(2)按所求得的系数,这个幂级数在它的收敛域内的和函数是否就是f(x)?

先解决问题(1),不妨设式(1)成立。那么。根据幂级数可以逐项求导的性质,依次求出式(1)中的各阶导数:

设函数f(x)的麦克劳林级数的收敛半径R0,当n→∞时,如果函数f(x)在任一固定点x处的n阶导数f

(x)有界,则函数f(x)在收敛区间(-R,R)内能展开成麦克劳林级数

利用麦克劳林级数展开函数,需要求高阶导数,比驼嚷乌设较麻烦,如果能利用已知函数的展开式,根据幂级数在收敛域内的性质,将所给的函数展开成幂级数,这种方法称为间接展开法蒸请雄

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