泰勒公式

声明:百科词条人人可编辑,词条创建和修改均免费,绝不存在官方及代理商付费代编,请勿上当受骗。详情

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件,泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒,他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一,也是函数微分学的一项重要应用内容

泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容,它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数,泰勒公式这种化繁为简的功能,使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具

18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook Taylor),其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》,书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来,它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函热仔汽数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利艰朵主用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年,拉格朗日强调了泰勒公式的重要性,称其为微分学基本定理,但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性,这个工作直到19世纪20年代,才由柯西完成。泰多主备挨勒定理开创了有限差分理论,使任何单变量函数都可以展开成幂级数,因此,人们称泰勒为有限差分理论的奠基者

泰勒公式是数学分析中重要的内容,也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具,泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题,且具有很高的精确度,因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面

。这是在对函数进行局部线性化处理时常用的公式之一。从几何上看,它是用切线近似代替曲线。然而,这样的近似是比较拳民粗糙的,而且只在点的附近才有近似意义。为了改善上述不足,使得近似替代更加精密,数学家们在柯西中值定理的基础上,推导出了泰勒中值定理(泰勒公式)

泰勒公式的余项有两类:一类是定性的皮亚诺余项,另一类是定量的拉格朗日余项。趋嫌糊这两类余项本质相同,但是作用不同。一般来说,当不需要定量讨论余项时,可用皮亚诺余项(如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题);当需要定量讨论余项时,要用拉格朗日余项(如利用泰勒公式近似计算函数值)

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数,由于多项式函数可以任意次求导,易于计算,且便于求解极值或者判断函数的性质,因此可以通过泰勒公式获取函数的信息,同时,对于这种近似,必须提供误差分析,来提供近似的可靠性

除了一元泰勒公式外,多元泰勒公式的应用也非常广泛,特别是在微分方程数值解宙巴厚和最优化上有着很大的作用

在高等数学的理论研究及应用实践中,泰勒公式有着十分重要的应用,简单归纳如下

理学院基础数学教研室编;刘缵武,郭从洲主编;王耀革,张武军,姚红,郑治中,张冬燕,邢巧芳,孙铭娟副主编,高等数学同步自主学习指导 上 试行本,信息工程大学理学院,2013.03,第68页

平艳茹,姚海楼编著,高等数学习题指导书,北京工业大学出版社,2016.04,第76页

张昭昭,乔俊飞著,模块化神经网络结构分析与设计,辽宁科学技术出版社,2014.04,第37页

程克玲著,高等数学核心理论剖析与解题方法研究,电子科技大学出版社,2018.04,第80-81页

朱玉明,侯兰宝主编,高等数学,华中师范大学出版社,2018.04,第94页

曹殿立,姬利娜主编,高等数学,中国农业大学出版社,2016.08,第100-111页

南京理工大学紫金学院高等数学编写组编,高等数学同步复习 第2版,中国矿业大学出版社,2018.09,第49页

上海交通大学数学系组编,高等数学 上册,上海交通大学出版社,2017.01,第122页

发表评论